ポン酢形式

主に解析数論周辺/言語などを書くブログです。PCからの閲覧を推奨します。

a peripatetic aide-mémoire (7)

貸しました:

www.chikumashobo.co.jp

ちょうど Hardy の A Mathematician's Apology を読み終えたところなので、「数学の実用性」という観点で ページる (= '漫読') とおもしろいと思います、ということをお伝えしました。

en.wikipedia.org

Hardy の thesis として、よく

We have concluded that trivial mathematics is, on the whole, useful, and that the real mathematics, on the whole, is not.

というまとめ方をされますが、こういった種の強い主張を前に、
ここで冷静になって第一文献をあたるのは学術的な観点からして大事だと思います。

But here I must deal with a misconception. It is sometimes suggested that pure mathematicians glory in the uselessness of their work16, and make it a boast that it has no practical applications. The imputation is usually based on an incautious saying attributed to Gauss, to the effect that, if mathematics is the queen of the sciences, then the theory of numbers is, because of its supreme uselessness, the queen of mathematics—I have never been able to find an exact quotation. I am sure that Gauss’s saying (if indeed it be his) has been rather crudely misinterpreted. If the theory of numbers could be employed for any practical and obviously honourable purpose, if it could be turned directly to the furtherance of human happiness or the relief of human suffering, as physiology and even chemistry can, then surely neither Gauss nor any other mathematician would have been so foolish as to decry or regret such applications. But science works for evil as well as for good (and particularly, of course, in time of war); and both Gauss and less mathematicians may be justified in rejoicing that there is one science at any rate, and that their own, whose very remoteness from ordinary human activities should keep it gentle and clean.

G.H. Hardy, A Mathematician's Apology, §19.

つまり、「高尚な数学」に使い道があったっていいんです (著者注: つまり外適応の話がしたかっただけ)

#autopoiesis

「[redacted] さんのブログ読んでると、それぞれの投稿が Wikipedia みたいに cross-reference されあってて、きっと知識をとても有機的に吸収されてる方なんだろうなーと思いながらながめてます」

「いえ、それほどリッチなものなどではなくて・・ただの 連想/思いつき というか」

「しかし、読書といい数学といい、かけ離れたアイデアのあいだに つながり をみつけられたときほどたのしいものはありませんね: この現象、先生だったらどんな名前をつけますか?」

これは考え事ごとをしているときの目だなと察し、この thoughtful silence を乱さないようにと注意しながら濃厚ぶどうジュースを口にふくむ。机の水滴を広げてしまわないようすこし丁寧にコップを置きなおし、そうして発せられるのは: --

「概念の autopoiesis」

en.wikipedia.org

And more generally, the subject of which the Greek philosopher was the supreme symbol seemed to offer an invitation to take on a task at once profound and laughable: to become wise through philosophy. In spite of the vast differences between the many thinkers described as philosophers across time [...], it seemed possible to discern a small group of men, separated by centuries, sharing a loose allegiance to a vision of philosophy suggested by the Greek etymology of the word – philo, love; sophia, wisdom – a group bound by a common interest in saying a few consoling and practical things about the causes of our greatest griefs. It was to these men I would turn.

Alain de Botton, Consolations of Philosophy, pp.7-8.

正しい抽象性で考える

Steve Jobs の Stanford 大学の卒業式のスピーチで有名らしい 'Connecting the Dots' という名前が平たくてわかりやすいのでいいかなと思っていましたが、やはり賢い大人の語調のセンスには圧倒される一方です --

youtu.be

en.wikipedia.org

自分のことなので、とうぜん会話では Steve Jobs と Bill Gates を混同したのはよくて、たとえばほかにも 渋谷と池袋も '都会の方面の緑色っぽい有名な街' ぐらいで同一視しがちなので今までに何回でも間違えたことあるし、やはり「正しい抽象性で考える」ことが大事かとおもう (なお、'文系に行ってなければ自分もそれくらいで考えるようになってたかもしれない' そうです):

taimur.me

読書録

読んでいます:

f:id:zeta_aniki:20210608211110j:plain
The Anthropocene Reviewed

John Green の TED Talk 最高すぎるのでぜひ見てください:

www.youtube.com

Kurzgesagt *1 とも共演しています:

www.youtube.com

上の写真でちょっとだけ写ってるのは A Vindication of the Rights of Woman で、さいきん読んでる Hypatia of Alexandria と並行してある意味 Symposium みたいなこと考えてるっていう流れで Boris Johnson にたどりつくような会話をしました:

en.wikipedia.org

www.youtube.com

なお Iliad を原語で暗唱させるとかいう古典教育 (かっこいい):

www.youtube.com

まあ、英国ではだいたい「哲学科を出た政治家」が政権を握っているのがほぼデフォルトなわけです -- cf:

www.ox.ac.uk

ここで思い出すのはやはり Plato でしょうか:

The world will not be right, until kings become philosophers, or philosophers kings.

www.youtube.com

Good-bye.*2

*1:"You know: the ones with birds, and the breath-giving wisdom about how to go on and why" -- https://www.youtube.com/watch?v=C6txQ5yn5S8

*2:この締め方は Seneca の Letters -- Seneca to his friend Luciulius, Greeting に感化されたものです: https://en.wikipedia.org/wiki/Epistulae_Morales_ad_Lucilium

a peripatetic aide-mémoire (6)

Epicurus: Ataraxia

貸した: The Consolations of Philosophy www.dubraybooks.ie

この本でたときに interview やってる:

www.youtube.com

f:id:zeta_aniki:20210525233710j:plain
Epicurus on Ataraxia.

-- 「苦の余事象」、かっこいい置き方ですね

というわけで ataraxia を数学の文脈でも考えたいわけですけど (たとえば logical formalism vs. intuitionism という緊張した対立とか、どれだけ適した中間点を取れるかにかかってる感じある) たしかに Cédric Villani の Birth of a Theorem とか最近読んでて似たこと考えたりする:

I went into semi-automatic pilot, drawing on the whole of my accumulated experience … but in order to be able to do this, first you’ve got to tap into a certain line—the famous direct line, the one that connects you to God, or at least the god of mathematics. Suddenly you hear a voice echoing in your head. It’s not the sort of thing that happens every day, I grant you. But it does happen.

I’d tapped into the direct line once before. In the winter of 2001, when I was teaching in Lyon, I lectured every Wednesday at the Institut Henri Poincaré in Paris. On one of those Wednesdays I was explaining my quasi-solution to Cercignani’s conjecture when Thierry Bodineau interrupted me and asked whether a certain part of the statement couldn’t be improved. Thinking about it on the high-speed train back to Lyon, the TGV, divine inspiration or something very much like it showed me the way to a much more powerful proof scheme, which made it possible to give a complete demonstration of the conjecture. Then, over the next few days, I was able to broaden the conjecture by extending the argument to cover a more general case.

But come the following Tuesday, just as I was about to proudly present my new results, I discovered a fatal error in the proof of the second theorem! I worked until three or four in the morning trying to fix it. No success.

Scarcely awake after only a few hours’ sleep, I began mulling over the problem again. I couldn’t bear the thought of not being able to announce my results. When I left home to go to the station, my head was filled with dead ends. But no sooner had I settled into my seat on the TGV than inspiration suddenly struck again: I knew what I had to do to fix the proof.

I spent the rest of the trip from Lyon to Paris putting everything in order, and when I entered the lecture hall I was able to keep my promise to myself after all. This made-in-TGV proof furnished the basis for one of my best articles only a few months later.

Now, once again, on this morning, the morning of April 9, 2009, another bit of inspiration came knocking at my brain’s door and illuminated everything!

Birth of a Theorem, Cédric Villani, p.119.

なお Poincaré:

Thought is only a flash between two long nights, but this flash is everything.

The Value of Science, Henri Poincaré.

そういえば、Que-sais je? の Ricœur 巻にも似たことがありましたね:

一つの問題を扱うとき、[リクール] は模範的な明敏さと冷静さでもって、その問題について偉大な哲学者たちが語ったことや、あらゆる伝統に属する同時代の著者たちが考えていることを周到に呼び起こしてくる。

そしてその度ごとに、まるで劇作家のように、さまざまな緊張や矛盾を際立たせるが、決して対立を最終的なものにしようとはしない。弁証法の才能、あるいは「矛盾への偏愛」によって、リクールは対立のうちに事象そのものをよりよく理解するための助けとなる相補的な観点を見てとる。[...]

一つの問題についてたような簡単を考慮に入れるほど、それらが対立しあう観点であるように見えるとしても、そう見える時こそよい理解がえられる、ということである。 [...]

この思索は、革新的で偶像破壊的な考えを守ることよりも、人間にかかわる現象に可能なあらゆる角度から光を当てて、その複雑さを正当に評価することに意を注ぐのである。

『ポール・リクール』, 文庫クセジュ, ジャン グロンダン (著), 杉村 靖彦 (翻訳)

Tibetan Buddhism, Hermeneutic circle

CAE まで 50日切ったとかいうので、TSoL のエッセイ一日に一個読むことにしたながれでこれこのまえみた:

www.youtube.com

つまり、soul (肉体でない部分の自我) みたいなものを信じるための根拠ってけっこうあるんだなーって思ったのはよくて、問題はそれをチベット仏教研究してた人がどう思うかということになるわけですが、輪廻転生にまつわる '静まった海から波が立つかんじ' とか '砂鉄を裏から磁石で集める感覚' みたいな言い回し，南無

さて、循環といえば hermeneutic circle を思い出します:

[The hemeneutic circle] refers to the idea that one's understanding of the text as a whole is established by reference to the individual parts and one's understanding of each individual part by reference to the whole. Neither the whole text nor any individual part can be understood without reference to one another, and hence, it is a circle. However, this circular character of interpretation does not make it impossible to interpret a text; rather, it stresses that the meaning of a text must be found within its cultural, historical, and literary context.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermeneutic_circle

これはたとえば今度、学習における input と output という題でも考えたくなります:
書き物を例にとってたとえると、読みという input があってこそ書くという output が形づいてくる一方で、きちんとした観察眼で読むためには、何か書いてみたことがあることが大事です: -- つまり、良い input というのはある程度の output を前提とします。いいかえれば、output は input を導きます。したがってこれはサイクルを構成します。

今度はモチベーションについて考えてみましょう:
一般的な想定によれば「やる気が行動を生む」わけですが、'作業興奮' 云々「行動はやる気につながる」というとらえ方がよいとする考えも今では有名なところです。この考えにしたがえば、やる気と行動は、一方通行の「因果関係 (causality)」 ではなく「循環」で関係づけられるといえます。

一般に、こういった種類の循環には causal loop という名前がついています:

en.wikipedia.org

Open education

東京駅の丸善の4階では Oxford Handbook という本をみかけることがあります:

global.oup.com

このシリーズでは、たとえば自動詞にも他動詞にもなりえる ergative verb (能格動詞) について 1,296 ページ (!) にもわたる学術書を出版しています:

global.oup.com

言語学の棚にいくと目についたのが Oxford Handbook of Japanese Linguistics で、著者の 宮川繁 氏は前に Youtube でみかけたことがありました:

www.youtube.com そこで、なんとなく curriculum vitae をながめていると、fields of interest に Open education とあるのに気づきます -- 調べてみると、かなり自分が興味のありそうな分野らしいことがわかりました:

Open education is motivated by a belief that learners want to exercise agency in their studies. Specifically, people engaged in the learning process want to conduct inquiries about potential topics of study, to have a hands-on educational experience instead of a strictly textbook-focused education, to take responsibility for their educational decisions, to experience the emotional and physical side of education, to understand how education and community are related, and to have personal choice in the focus of their classroom studies.[2]

[...] The philosophy of an open education centers on student learning and sees the teacher become the learning assistant. Teachers are to observe, guide, and provide materials for the learners. The teachers should facilitate, not dominate, the learning process. Open education is optimistic in the belief that the freedom of choice and student direction will promote a better quality of learning.[3]

The basis for the learning philosophies of open education can be traced back to the work of educational reformer John Dewey and developmental psychologist Jean Piaget. https://en.wikipedia.org/wiki/Open_education

-- 進んだ社会にとって、教育って魚にとっての水みたいなものだと思っていて、つまり distanciate すること (距離の確保) によってのみきちんとした遠近で考えられるようになると思うわけです (その意味では、今の自分以上に適したポジションにいる人はおそらくいないので、これはいいきっかけ)

これから数か月から数年にかけて自分なりの答えをみつけてみようとおもいます -- なお:

Another source of teenage sorrow is how many big questions suddenly fill one’s mind, not least: what is the point of it all? This questioning too is vital. The sort of questions that adolescents raise tend to get a bad name, but that is more to do with how they answer them than with the questions themselves. What is the meaning of life? Why is there suffering? Why does capitalism not reward people more fairly? Adolescents are natural philosophers. The true end-point of adolescence is not, as it’s sometimes suggested, that one stops asking huge questions and gets on with the day to day. It’s that one acquires the resources and intelligence to build an entire life around the sort of big questions that first obsessed one at seventeen.

www.theschooloflife.com

-- Goodbye.

a peripatetic aide-mémoire (5)

読んでいます: www.amazon.com

これは truism ですが、Chomsky ほど著名な研究者でもしっかり先行研究から ground-up で discourse を展開していくわけです -- Academia で生き抜くための技術、備えたい

極限環境下での研究

誕生日に頂きました (ありがとうございます): f:id:zeta_aniki:20210511200451j:plain

L'ésprit de géométrie et l'ésprit de finesse について:

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Sur les Pensées par Blaise Pascal

まあ、intuitionist からの例を挙げるのもどうなのかわかりませんが、たとえば数学的発見の諸相について Henri Poincaré は次のように言っています:

One is at once struck by these appearances of sudden illumination, obvious indications of a long course of previous unconscious work. The part played by this unconscious work in mathematical discovery seems to me indisputable, and we shall find traces of it in other cases where it is less evident. Often when a man is working at a difficult question, he accomplishes nothing the first time he sets to work. Then he takes more or less of a rest, and sits down again at his table. During the first half-hour he still finds nothing, and then all at once the decisive idea presents itself to his mind. We might say that the conscious work proved more fruitful because it was interrupted and the rest restored force and freshness to the mind. But it is more probable that the rest was occupied with unconscious work, and that the result of this work was afterwards revealed to the geometrician exactly as in the cases I have quoted, except that the revelation, instead of coming to light during a walk or a journey, came during a period of conscious work, but independently of that work, which at most only performs the unlocking process, as if it were the spur that excited into conscious form the results already acquired during the rest, which till then remained unconscious.

Cédric Villani. Mathematics is the Poetry of Science. Oxford University Press. pp.53-54.

Edmund Husserl, きくところによると Paul Ricœur が収容所に強制させられてたときにも Ideen の余白にフランス語訳をひたすら書き込んでいたという話がありますね:

Ricoeur was studying in Germany when World War II broke out. Soon after being called up for service in the French army in 1939 he was captured and spent the rest of the war in prison camps in Germany. There he was able to study the work of Karl Jaspers and to prepare a translation of Husserl’s Ideas I in the margins of the book which he had to conceal from his jailers. https://plato.stanford.edu/entries/ricoeur/

André Weil の自伝にも、ソビエトのスパイだと疑われフィンランド警察に逮捕された際 ("Finnish fugue") の獄中について似た話があります:

Soon I was receiving a large amount of mail, which had to be read first by prison officials and by the examining magistrate; sometimes there were censored passages. Almost everyone whom I considered to be my friend wrote me at this time. If certain people failed me then, I was not displeased to discover the true value of their friendship. At the beginning of my time in Rouen, the letters were mostly variations on the following theme: "I know you well enough to have faith that you will endure this ordeal with dignity ... " (sometimes preceded by the theme, "You know I do not agree with your views, but...") But before long the tone changed. Two months later, Cartan was writing, "We're not all lucky enough to sit and work undisturbed like you ... "

-- Weil, André (1992). The Apprenticeship of a Mathematician. Birkhäuser Verlag. p.139

本を失うこと

ある日デスクトップ版の Kindle が (たぶん My Kindle Content が corrupt だという理由で) 開かなくなったときの考えごと:

高木貞治「数学の自由性」(ちくま学芸文庫) p.284:

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やはり、本は燃え、データは消え、次第に知識源が失われていくなかで頼れるのは自分の持つ知識だけ (!) だというわけです

現代数学の先

には epistemology (認識論) が待ち受けているといかいう雰囲気が好きでたまらない:

From my point of view, as the author of [IUTchI-IV], one fundamental criterion that I always keep in mind — not only the in case of [IUTchI-IV], but also in the case of other papers that I have written, as well as when I am involved in the various types of evaluation procedures (Ev1) ∼ (Ev3) discussed above — is the issue of the extent to which the level of understanding of the mathematician in question enables the mathematician to “stand on his/her own two feet” with regard to various assertions concerning the theory, on the basis of independent, logical reasoning, without needing to be “propped up” or corrected by me or other known experts in the theory. I often refer to this criterion as the criterion of autonomy of understanding.

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf

-- もちろん、数学研究といえば「外交」といった領域の話にもなってくるわけですが、そんな話題について André Weil はこう述べています:

[...] it has always seemed more worthwhile to me to meet people, even scientists, in their natural habitat than in the midst of a randomly mixed crowd. Meeting someone in his own surroundings seems to make it easier to read his writings - or, sometimes, it becomes apparent that they are not worth reading. Despite all the errors to which this method exposes one, it actually saves considerable time.

-- Weil, André (1992). The Apprenticeship of a Mathematician. Birkhäuser Verlag. p.52

ですから、京都を中心としてIUT研究が捗っていてもおかしなことではないと思うのです.
それに、数学のブレークスルーというものがある一か所を拠点に発展するといったことは、歴史を見返れば明らかなことです:

www.youtube.com

Bad faith

実存主義の Bad faith という言葉を最近 Being and Nothingness で読んでいました:

en.wikipedia.org

つまり、おおざっぱにいうと、外からの制限 (たとえば、個人の経歴や過去の言動 -- facticity とよばれる) を、超越 (Kant のいう transcendence) を避けるために '悪用する' ことを指します.

いちばんわかりやすい例は "天才" という言葉の使われ方でしょうか -- つまり、努力をするという発想のない (がために "才能" の果たす役割を仮定したがる) 人たちは、

「自分は才能がない」(facticity) からという理由で
「努力する」 (transcendence) という選択肢を無視しようと必死でいる

のだというように説明がつきます.

I concluded that what we call 'intelligence' is as much about virtues such as honesty, integrity, and bravery, as it is about 'raw intellect’.

Intelligent people simply aren’t willing to accept answers that they don’t understand — no matter how many other people try to convince them of it, or how many other people believe it, if they aren’t able to convince them selves of it, they won’t accept it.

Importantly, this is a ‘software’ trait & is independent of more ‘hardware’ traits such as processing speed, working memory, and other such things.

Moreover, I have noticed that these ‘hardware’ traits vary greatly in the smartest people I know -- some are remarkably quick thinkers, calculators, readers, whereas others are ‘slow’. The software traits, though, they all have in common -- and can, with effort, be learned.

https://nabeelqu.co/understanding

まあ、逃れるべきでない facticity というのはたくさんあるわけですが (たとえば子育て)、一方で、普段なにげなく信じているより自由かもしれないという気づきがあるかもしれません
-- なお、実存主義におけるこの気づき (revelation) には 'negative ecstasy' という名前がついています:

en.wikipedia.org

good-bye.

a peripatetic aide-mémoire (3)

縦書きの和文を読むとかいう奇行 -- (本を貸していただきました):

茂木健一郎 『脳と仮想』 | 新潮社

  • '数という仮想:'
    • デデキントによる「連続性」の定式化: c.1860 と同じように、たとえば:
    • ヒルベルトによる「証明」の定式化: c.1900
    • ブルバキによる「構造」の定式化: 1939/1957
    • -- みたいに、けっこう数学の術語ってかなり長いあいだ厳密な定義なしにふわふわして使われてたかもしれない
      • ところで、Russell と Whitehead の Principia Mathematica とか眺めてると、数学の証明ってどういう仕組みで自然言語が書けるようになってるの? って思い始める
      • もちろんここで連想するのは Wittgenstein をはじめとした日常語言語学派で、読みましょう
    • 「[任意の概念] とは何か?」っていう質問、投げかけた時点で芸術と科学の折衷主義を構築しにいく感じがあってすごく好きなんだけど、こういう質問が嫌いな人がいるのはわかる
  • '(章のタイトルわすれた):'
    • 第一言語に自分のものじゃないかもしれない感がでてくるみたいな内容だったの、ほぼ Ricœr じゃん (後述)
    • 前回の 'Transpersonal psychology' のひとがいってた言語っていう概念の構成 (自己-他者 dichotomy に入った区切り) が気に入ってて、何か似たものを感じたかもしれない

Schematism, Subconscious Self, and Ideology in the history of mathematics

  • 株価市場とかで、なんらかの '重要な出来事' が起こらずともある程度の変化が起こったりすることがあるらしくて、さて行動経済学
  • Jonathan Haidt も '人の意見を変えるのは誰の仕事でもなくて、もし人の行動を変えたければ、subliminal な changes がいちばんうまくいく' みたいなこと言ってた
  • この流れで連想するのは Cédric Villani が [どの講演だったか思い出せない] で話してた流体力学の定理/パラドックス/etc
    • 5/13 追記: Scheffer–Shnirelman のパラドックスというものだそうです -- 以下、2008年の Séminaire Bourbaki からの引用:

    • Le paradoxe de Banach–Tarski est parfois qualifié d’“énoncé le plus surprenant de toutes les mathématiques”. Dans le domaine de la mécanique des fluides, si un théorème peut prétendre à ce titre, c’est à coup sûr le paradoxe de Scheffer–Shnirelman, selon lequel un fluide (non visqueux, incompressible) peut brusquement décider de s’agiter frénétiquement, sans qu’aucune force extérieure ne lui ait été appliquée. En fait cet énoncé est peut-être encore plus troublant que celui de Banach–Tarski, car il ne repose même pas sur l’axiome du choix. . . http://www.bourbaki.ens.fr/TEXTES/1001.pdf

  • オランダで1970年代にあった Chomsky-Foucault debate でも human nature の文脈でまったく同じ現象がみられるってあった (ex: first language acquisition)

Cédric Villani -> Henri Poincaré

  • I. 最近 Mathematics is the Poetry of Science という本を読んでて、付録にある Poincaré の essai で、数学の研究って conscious-subconscious-conscious (つまり: 集中-発想-作業) の繰り返しって書いてた -- つまり、いちばん画期的な発想をするのは注意の向いた自己ではないことが多い
  • 数学に限らないことだろうと思うけど、散歩してるときとかお風呂はいってるときにいろいろ思いつくことたくさんある (英語で俗にいう 'shower thoughts')
    • iPS細胞の山中伸弥氏はお風呂場で思いついた (http://www.kyoto-up.org/archives/1253)
    • ベンゼン環 (?) を思いついた人 (?) も夢の中でクモの巣がでてきた etc
    • たしかに、数学の研究所の周りって世界中どこでも、中で散歩できるような庭園みたいなのを備えている傾向にあるってきいた (とか Andrew Wiles も散歩中に何かひらめいたはず)

直観主義と形式主義, 普仏戦争, とBourbaki (要検証)

  • II. 初期現代の 'フランスの数学' といえば Poincaré をはじめとした Intuitionism が主流で、それに対抗してたのが 'ドイツの数学' で Hilbert をはじめとした Formalism -- つまり:
    • フランスの直観主義
    • ドイツの形式主義
    • -- という dichotomy があって、フランスで形式主義的な数学を志していた、まだ結成してなかったころの Bourbaki のメンバーはこれをよく思わなかった
    • そこで彼らは団結し、秘密結社を立ち上げた -- そしてグループ名を、フランスがドイツに完敗した普仏戦争 (1870-71) のときの軍司令官 Charles-Denis Bourbaki になぞらえ 'Bourbaki' と名付けた (-- らしい: めっちゃ citation needed)

      • The group's namesake derives from the 19th century French general Charles-Denis Bourbaki,[3] who had a career of successful military campaigns before suffering a dramatic loss in the Franco-Prussian War. The name was therefore familiar to early 20th century French students. Weil remembered an ENS student prank in which an upperclassman posed as a professor and presented a "theorem of Bourbaki"; the name was later adopted.

      • https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki
      • en.wikipedia.org
      • もちろん挙げられてる参考文献をあたるわけですけど、André Weil の autobiography ということで読みます
      • www.amazon.com
  • ここ2週間まじでずっと Slavoj Žižek おもしろすぎて聴いてるので、「空集合の記号レベルで現代の数学に基礎的な部分にまで浸透してるほど影響力の強い Bourbaki が、実は政治的思想にめっちゃ帯びまくった左翼コミュニティだった」とか考えちゃいますね
    • まあ、ideology って「あたりまえすぎて逆に気づかないほどどこにでもある」のがポイントなので、その意味でこの名前の由来が歴史的に正しければよりおもしろい

      • The essence of ideological statements is that, unless our political senses are developed, we will fail to spot them. Ideology is released into society like a colourless, odourless gas. It is embedded in newspapers, advertisements, television programmes and textbooks – where it makes light of its partial, perhaps illogical or unjust, take on the world; where it meekly implies that it is simply stating age-old truths with which only a fool or a maniac would disagree.

      • https://en.wikipedia.org/wiki/Status_Anxiety
    • 数学と政治 -- pure mathematics とかいうプロパガンダ、数学の普遍性/外適応性からするとただの幻想なので
      • en.wikipedia.org
      • Cédric Villani の mathematical philosophy もかなり好きになるかもしれないのでもっと読む (!!)
      • にしても「外適応」という言葉、'純粋数学' を en soi (それ自体の) 美以外のために研究する動機付けのいい説明になるし、というかまず laypeople に "素数は美しい" とかいったところで研究費くれるわけないし、とにかくもっとはやれ ってかはやらせる
    • 他の例でいくと、Darwinism とかただの 'just-so story' (https://en.wikipedia.org/wiki/Just-so_story) だっていえちゃうところとか、causality と correlation は知らないうちに混同されているのがおおいかもしれない: ある時代の研究者の多数が認めたあたりで理論として成立することがあるあたり partisan politics とあまり変わらない -- あと Amazon review で読んだのは人間行動学はユダヤ人のための学問って書いてる人いて、合掌

制圧と創造性 -- 言語学者ってだれ

  • Foucault-Chomsky debate (さっきの) で Chomsky が最初のほうに言ってたのが、"a fundamental element of human nature is the need for creative work [...] without the arbitrary limiting effects of coercive institutions" っていうので、そこから anarcho-syndicalism まで展開してく
  • これって Bertrand Russell と意見が違うのかなーっておもってた
  • 数学 -- 特に素数周辺の数論 -- って「制限から生まれる創造性」の究極だとおもってる: 素数っていう一見不規則な対象でどれだけ acrobatic で creative に遊べるかみたいな感じで、つまり一般化や制限の緩和だけがいいわけじゃない
  • ところで、Chomsky しかり Pinker しかり、言語学者って言語学の業績で有名になるわけじゃないことがほとんどだと思ってる一方で、そういう学際的なリッチさをそなえる言語学ってすごく魅力があってかっこいい

Ipsity

  • 「道徳から応用倫理へ」で読んだ Ricœr の翻訳に関する章でもあったけど、言葉の '再帰的な反省,' つまり「自国の言葉に異国さを見出すこと」っていう、数学でいうところの endomorphism (自己射) みたいな意味での翻訳 (まあ、つまり「言い換え」) って理解の指標にもなるし、したがって自己の理解 (構造主義の主題) にすごく大事
  • ipsity ってぜんぜん trivial じゃないよね~~

Riœur, Wittgenstein, André Weil, Henri Poincaré, Cédric Villani と読みたいひとが増える一方で、こういう忙しさの幸せって生涯で経験するもののうちでいちばん楽しい -- 人と会う前後、講座期間中の京都、神保町から帰ってきた晩

Good-bye.

a peripatetic aide-mémoire (2)

今回の essay:
What cats can teach us about friendship - https://www.notion.so/mihhi/What-cats-can-teach-us-about-friendship-f5880af95d2647f1baa21049895d9000

  • Time and time again, やはり持つ時間は短いほうが作業は捗る
    • これ "Parkinson's law" っていう名前ついてる (5:40~)
    • youtu.be

Vulnerability, dualism, 意識, 一/多神教, 資本主義

  • Opening gambit は 'vulnerability:' 弱みをさらけだすことで、相手がこちらをあざわらい傷つけることさえできるけれども、これ以上ない '信頼の証' として機能する
    • さいきんおもったのは、ピアノ練習配信とかこれにすごく近い: 指滑るとかミスするけど、やはり人間性とはそういうところにみいだされると思う
    • だからね、1年前の今ごろ体調崩れまくってたときとか、イトーヨーカドーの階段の踊り場で Kirkegaard と構造主義とか話し合うとは思ってなかったわけです
  • Alain de Botton: The Architecture of Happiness
    The Architecture of Happiness - Wikipedia
    • Le Corbusier: Villa Savoye en.wikipedia.org
      • 「生きることは、重力に逆らうこと」であるとすれば、浮遊感がつきぬける Villa Savoye は「生命の象徴」といえるかもしれない (par ゆるゆる美学者)
    • 建物が 'speak' (語りかけること) から eloquence (雄弁), context (文脈), choir (聖歌隊) へと自然に発展できるような「体系的なたとえ」がすごく好き
  • Dualism vs. Nondualism
    • 「肉体 vs. 精神」「天使 vs. 悪魔」云々: 二分法か、またはスペクトル (または [メビウスの] 輪)
      • したがって、すごく緩い意味では、たとえば形容詞 pregnant が ungraradable だと気づいたとたん、つまり「比較可能かどうか」という ものさし の存在に気づくと、たとえば binary なら spectrum まで '構造' が変わる (et vice versa)
      • スペクトルのことで思い出すこと2つ:
        • I. 便宜上設置しなければならない「区切り」が arbitrary であることを思い出さなければならない
          • たとえば、日本語の ら行 のおかげで英語の r, l という2つの音素には区別がつきづらいのは、脳内で自然と同じ区分に分類されてしまうため
          • べつにこれが悪いことだというわけではなくて -- もちろん「ラベル付け」の作業は考えごとに欠かせないので -- けれども、ときには俯瞰しなおすことが大事なこともある
          • www.youtube.com
        • II. Nicomachean Ethics by Aristotle:
  • Jonathan Haidt の言うように、倫理観とか政治観ってかなり理由より instinct によるところが大きいので、議論で相手を説得するとかほぼ意味をなさないことがほとんど
    • 日本人で「神学 = デタラメ」だと思ってる人がかなりいるようにみえてこわすぎる -- したがって日本における価値観と、あるほかの世界における基準には埋められない溝がある: つまり、religious (信じる) でも atheistic (信じない) でも agnostic (知ることはできないと思う) でもない「考えない」人たち (nihilists) ってどうすればいいんだ (もちろん、他人の考えを変えるのは誰の仕事でもない)
      • -- という話をしたとき、前回「歴史の授業での編纂がこわすぎて勉強できなかった」ってつぶやいたときと同じで、即「はい、それは怖いですね」と返す冷静さ、自分にはまだない: つまり、自分はまだやっと気づきはじめてるぐらいの段階
      • まあ -- 七五三で神道かと思いきや、20年後にはキリスト教で結婚式をあげて、で仏教でお葬式するような宗教学的には異端をゆくような環境でそだってると、あまり意識がないのかもしれない (圧倒的国家主義)
      • 'よろしくお願いします' と口にするときは相手よりも見守ってくれている神様にむかって云々; 'どっこいしょ' も '六根清浄' の音便化とかいう俗説
      • なお, Good bye -- god be with ye. goodbye | Search Online Etymology Dictionary
    • 一方で、「資本主義 (capitalism) はもともとユダヤ教の教えがもとだとされるので・・」あたりのこともっと知りたいとおもった
      • この話で思い出すのは Slavoj Zizek がいってた「政治思想も外適応を通じて変貌を遂げたものばかりで、たとえば社会学において前駆体は資本主義に適するよう外適応した」みたいな話 -- もっと彼の英語/話し方になれておいたほうがいいきがしてきた (スロベニア語訛り)

構造主義, distanciation (Paul Ricœur), ブルバキ

  • 「最近は数学についてはどんなものを読んでいるんですか」という質問には「ブルバキ」と即答した:
    • Paul Ricœur の distanciation (距離確保) にしたがえば、やはり数学も構造主義の文脈におくことで見通しがすこしつくと思う en.wikipedia.org
    • hermeneutics (解釈学), もしかして数理にめっちゃ応用あるのでは (でたらめな横断)
    • 構造主義側も数学側も用語がまだふわふわしていすぎなので、もっと読み物をきちんとこなすのをがんばる
  • 構造主義もっと勉強するのたのしみ＝～
  • 会話してるときに相手の人が言った固有名詞を特定できたことがないので、やはり黒板か何かの前に立って話すのがいちばんかとおもう -- 会話した内容も忘れないので次は紙でも広げながら口を動かす
    • たぶん今日話してたのは Jacques Lacan (https://en.wikipedia.org/wiki/Jacques_Lacan) -- もっとよむ
    • ロシア語で最近話してるときは言葉とか見直すのにそういうようにしてる一方、話が盛り上がってくると手が止まるのとかカウンセリングのひとでもけっこうそうだったりする

Essay, originality, 文化的遺伝子

  • エッセイの添削:
    • 文法しっかりしてるのほめられた
    • あと「格式高い英語」っていわれたの嬉しすぎ
  • 各文章の書き始めが難しく感じるので、いろいろ inversion (倒置) みたいな rhetorical device (バリエーション) をもっと手になじませるぐらい書き物をがんばる
    • "resource = ネタ" という訳をおぼえた
      • こういうときに無意識に機械翻訳してしまわずに、ぱっと口語で相当する言葉がでてくるのとか、めっちゃみならう
  • 格式高い「文調」で自然と書くようになるのは、たとえば Alain de Botton の文体が「文化的に遺伝した」
    • Dawkins も Oxford みたいなイギリスの大学にある supervision のしくみのおかげで説明する能力が鍛えられたって言ってたのと似たかんじで、自分の場合はたとえば D のフォーラムで言語学に対する姿勢みたいなものがそなわってきてるところだと思う
    • 共起表現の構成に注目: 文化的遺伝子 -- つまり、文化との接触にあたって起こる '遺伝' というのは、意志で逆らえるものではないかもしれない
      • とすると、こんど文芸的遺伝は「読者の特権」といえる (!)
  • Steven Pinker の言うように、"good writers are avid readers" (いい書き手はいい読み手) なので、これからも読書に励むいっぽう

Good-bye.

a peripatetic aide-mémoire (1)

以下、哲学とか：

  • CPE, まじで東京の都会で5人受けるわからんとか threshold 高すぎるので
  • 日本人の sickening obssession over [choose your pick: 理系vs.文系/中学高校時代/女子高生/TOEIC]
    • My next few blog entries will subsequently be entitled「脱敗戦国記」-- 合掌

  • The 理系 vs. 文系 dichotomy を乗り越えたあたりで, quote,「脱日本人」

    • この話で思い出すのは The Two Cultures by Charles Percy Snow -- 西洋でもこの二分法が存在しないわけではない
    • 「学際の達成」がだいたい「日本人卒業」を意味する (今日の話でいちばんおお、ってきた)
      • Consciousness (意識論), free will (自由意志) あたりの話が日本語圏で一切話題にならないのって、「主観」を「科学」に持ち出すのが二分法のおかげでめっちゃタブーだから、っていうの聞いてすごい納得した
    • 中学生の頃の自分が「数学用」「言語用」とかいって Twitter のアカウントわけてたのとか、今では幼稚にしかみえないのでめっちゃ後悔してる
      • なんならテトリスとタイピングもそれぞれ数学と言語と関連めっちゃ深いし、さて名詞とはかなり arbitrary なもので

  • OED の編纂: たとえば "thumb" とかの 読まない 'b' は、orthography (正書法) に通じた人 (= literate = 上流階級) を見分けるための apartheid (!)

    • silent letters (読まれない字) の話で思い出すのは「古英語における黙字の外適応」
    • つまり、もともとは「音」の区別に使われていたものが、次第に「綴り」したがって「意味」の区別に使われるようになった、という役割の転換を指す
    • -- "knife" も昔は k を読んだとかいうのはよく知れ渡った話で、もっとわかりやすい例だと knight (騎士) と night (夜): 最初に k があるおかげで意味に区別がついてる
    • 詳しくはこの記事で: http://user.keio.ac.jp/~rhotta/hellog/2020-02-14.html

  • Apartheid No.2: イギリスで天気の話をするのは会話相手の属する社会階級を見分けるため (こわい)

  • じゃあ日本ではどうかというと、という話はまた別の記事で (これいつかちゃんとした講演になるので)
  • HBL の構想 -- 早くて講演は今年の10月末だけど、開催が当然未定
    • 画面の前より聴衆の前で講演をすることにこだわりがある
    • 「研究分野の創始は最初に言ったもん勝ち」
    • OLC (cf. SEP: 'emotion', Wittgenstein & Russell) の話とかどうやって組み込まれていくのか、まださっぱり
      • しかし、Galileo からの流れとか、自分ながらめっちゃうまいとおもう

  • 学際の話にもどると、自分が本を読んだりして気づく 文字通りでない帰結 が好き

    • 読書って、読んでる内容もそうだけど、こういういろんなことの「つながりの発見」のほうがおもしろいとおもってる
      -- たとえば：
    • Neuroendocrinology (神経内分泌学) の dopamine/testosterone secretion の話が pessimism (哲学的悲観論) の導入になる;
    • RSA暗号 の仕組みがわかると、美術, 書き物, YouTube の作品の何がいかに素晴らしいかがわかる、とか
    • いずれここのブログにメモる

  • Twitter, つぶやくべき?

    • この話で思い出すのは John Bercow (the previous Speaker of the House of Commons) の Oxford Union full address (from 51:16)
    • にしてもまじで語彙力ありすぎてやばいって見るたびに言ってる
    • youtu.be
  • ユダヤ系の人が好き: John Bercow しかり, 科学者/哲学者では Steven Pinker, Noam Chomsky, Robert Sapolsky, Daniel Kahneman, David Deutsch, Roger Penrose, Carl Sagan, Brian Greene, Jonathan Haidt, Yuval Noah Harari, Alain de Botton, Harold Bloom, Seymour Papert, Esther Perel, Mate Gabor, Viktor Frankl, 音楽家では Martha Argerich, Evgeny Kissin, Itzhak Perlman, Leonard Bernstein, Vladimir Horowitz, Arthur Rubinstein, Murray Perahia, 映画関係の有名人だと Steven Spielberg, Woody Allen, Natalie Portman, 他多数

Good-bye.

ゼータ関数の美しい物語

ポン酢お兄ちゃんです。
この記事は 数学カフェアドベントカレンダー2017 の10番目の記事です。

adventar.org

9番目の記事は simizut22 さんの ``tropical curve の moduli の話" でした。

また、ブログ「ポン酢形式」の初記事でもあります！！(cf. ブログ開設日は今年の4月頃:

)

 

今回は、2018年1月5-7日の3日間で行われる、数学カフェのゼータ関数会(講演者: ゼータ兄貴/たけのこ赤軍)の概要を
書きます。

この記事の構成はこんな感じ: 

  • 1日目: (「形式的な」予習会) (講演者: ゼータ兄貴/たけのこ赤軍)
  • 2日目: (佐藤-Tate予想) (講演者: ゼータ兄貴)
  • 3日目: (多重三角関数) (講演者: たけのこ赤軍)

1日目: (「形式的な」予習会) (講演者: ゼータ兄貴/たけのこ赤軍)

現代数学、特に数論と呼ばれる分野においては、ゼータ関数 という対象が、18世紀のEulerによる研究をはじめとして、
長い間に渡り、現在も最先端の数学で研究されています。その Euler による発見は次のようなものです:

\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}.

この問題は当時の超難問で、Jacob Bernoulli など多くの数学者を撥ね付けた問題でした。その後、Euler はこの問題を
一般化して、次のような関数を定めました*1:

Definition.          (The Riemann Zeta Function)
複素数 s に対して級数
  \displaystyle \zeta (s) \hspace{0.25cm} \overset{\mathrm{def}}{=} \hspace{0.25cm} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}

は \mathrm{Re} (s) \gt 1 で絶対収束し、正則関数を定める。この関数を、Riemann ゼータ関数 と呼ぶ。

一般に、ゼータ関数の極/零点の情報を取り出すことによって、そのゼータ関数にとって「素数的なもの」に関する結果を得ることができるのですが、Riemann ゼータ関数の場合は「素数的なもの」は「素数」です。たとえば Bernhard Riemann (1859) によって次の定理が証明されています:

Theorem.          (Riemann's Prime Number Formula)
\displaystyle \pi (x) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.25cm} \sum_{m \leq \log_{2} x} \frac{\mu (m)}{m} \left(\mathrm{li} (x^{\frac{1}{m}}) - \sum_{\rho} \mathrm{li} (x^{\frac{\rho}{m}}) - \log 2 + \int_{x^{\frac{1}{m}}}^{\infty} \frac{1}{t(t^{2} - 1) \log t} dt\right ).

今回は特に、Riemann の 画期的な研究を通して、1896年に Hadamard/de la Valée Poussin によって証明された素数定理

\displaystyle \pi (x) \hspace{0.25cm} \sim \hspace{0.25cm} \frac{x}{\log x} ~~~ (x \to \infty)

を、1日目の主定理として証明します(!)。素数定理の Riemann ゼータ関数を用いた証明の鍵は、2日目の最初にも少し触れて
いますが、

\displaystyle \zeta (s) が \displaystyle \mathrm{Re} (s) \geq 1 に零点を持たない

という事実を示すことでした。

また、2日目以降で用いる重要な概念としてひとつあるのが、保型形式と呼ばれるものです。保型形式の定義を念のため
書いておくことにすると*2、

Definition.          (The Autoomrphic Forms)
上半平面  \mathfrak{H} 上の Modular 群 \Gamma に関する 保型形式 とは、関数 f: \mathfrak{H} \rightarrow \mathbb{C} であって、次の3つの条件を満たすもの:
      (i) (保型性)   ある整数 w \geq 0 に対して、 f \cdot [\gamma ]_{w} = f ~~~ (\forall \gamma \in \Gamma)。    
     (ii) (正則性)    f は \mathfrak{H} 上で正則。
    (iii) (増大条件)    f は任意の尖点で正則。

といった感じです。保型形式は、1日目で予習する楕円曲線と深い関係があったりします。
さて、保型形式の具体例として 実解析的 Eisenstein 級数 を挙げます (cf. 

o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com

) 。実は、この記事でも述べられていることですが、この関数は 素数定理の別証明を与えることができる のです(素数定理を「予習会」で証明するときくと凄そうですが、「Riemann ゼータ関数の応用例」「保型形式の紹介」「佐藤-Tate予想への動機付け」という重要な項目を完璧に満たしていることに二人で気がつくと証明せずにはいられなくなりました) !


1日目の予習会では、「素数定理の Riemann ゼータ関数を使った (Hadamard/de la Valée Poussin型の議論の) / 実解析的 Eisenstein 級数を使った (一般線形群 GL (n) の保型形式的な) 証明」を目標とします。

 

2日目: (佐藤-Tate予想) (講演者: ゼータ兄貴)

  • \displaystyle \zeta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}} --- ただし \displaystyle \mathrm{Re} (s) \gt 1 --- は \displaystyle \mathrm{Re} (s) \geq 1 に有利型関数として解析接続され、 \displaystyle s = 1 で
    1位の極を持ち、 \displaystyle \mathrm{Re} \geq 1, ~ s \neq 1 では極も零点も持たない
    \displaystyle \Longrightarrow 素数定理 (1896, Hadamard/de la Valée Poussin): \displaystyle \pi (x) \sim \frac{x}{\log x} ~~~ (x \to \infty)

  • \displaystyle L (s, \chi) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\chi (k)}{k^{s}} --- ただし \mathrm{Re} (s) \gt 1, ~ \chi は非自明な Dirichlet 指標 --- は \mathrm{Re} (s) \geq 1 に
    正則関数として解析接続され、 \mathrm{Re} (s) \geq 1 では零点を持たない
    \displaystyle \Longrightarrow Dirichlet の算術級数定理 (1896, de la Valée Poussin): \displaystyle \pi_{N, ~ a}^{\mathrm{mod}} (x) \sim \frac{1}{\varphi (N)} \frac{x}{\log x} ~~~ (x \to \infty)

というように、古くから ゼータ関数 や L 関数 の解析的性質は研究されていて、特に零点や極の位置から素数に関する情報を
引き出せることが知られていました。2006年の Taylor 達による 佐藤-Tate予想 の (大部分の!) 証明も、このアイデアに基づいています。


佐藤-Tate予想の定式化.

F を代数体とし、 a, b \in F を 4a^{3} + 27b^{2} \neq 0 を満たす F の元の組とします。 F 上の楕円曲線

\displaystyle E: \hspace{0.25cm} y^{2} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.25cm} x^{3} + ax + b

を考えます。ここで、 E の j-不変量 は

\displaystyle j^{\mathrm{~inv}} (E) \hspace{0.25cm} \overset{\mathrm{def}}{=} \hspace{0.25cm} \frac{1728 \times 4a^{3}}{4a^{3} + 27a^{2}}

で定義されます。 v を F の有限素点とし、 k_{v} を v における剰余体とします。 k_{v} の位数を q_{v} とおいたとき、有限個の v を
除いて、 E の定義方程式の \mathrm{mod} ~ v 還元は k_{v} 上の楕円曲線 E_{v} を定めます。このとき、 E は v において 良い還元 を持つと
いい (このときの v の集合を \mathbb{V}^{\mathrm{~good}} と書く) 、そうでないとき E は v において 悪い還元 を持つ (このときの v の集合を
\mathbb{V}^{\mathrm{~bad}} と書く) といいます。 E_{v} の k_{v}-有理点 の集合 E_{v} (k_{v}) の位数を \# E_{v} (k_{v}) とおくと、Hasse の定理より

\displaystyle |1 + q_{v} - \# E_{v} (k_{v})| \hspace{0.25cm} \leq \hspace{0.25cm} 2 \sqrt{q_{v}}

が成り立ちます (キモチ: \# E_{v} (k_{v}) は q_{v} + 1 とほぼ等しく、誤差は高々 2 \sqrt{q_{v}}) 。では、 v を動かしたときに誤差項は
どのように振舞うのでしょうか? そのために、 \theta_{v} \in \mathbb{R} を用いて

\displaystyle 1 + q_{v} - \# E_{v} (k_{v}) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.25cm} 2 \sqrt{q_{v}} \cos \theta_{v}

--- ただし 0 \leq \theta_{v} \leq \pi --- とおきます。少し雑にいうと、佐藤-Tate予想とは、誤差項を表す角度 \{ \theta_{v} \} が

\displaystyle \frac{2}{\pi} \sin^{2} \theta

のグラフの形に分布する、という予想です。より正確な定式化は次の通り:

Conjecture.          (Sato-Tate conjecture)
 E を代数体 F 上の 虚数乗法を持たない 楕円曲線とする。実数 \alpha, \beta ~ (0 \leq \alpha \lt \beta \leq \pi) に対して、
\displaystyle \lim_{N \to \infty} \frac{\# \{ N \leq v \in \mathbb{V}^{\mathrm{~good}} ~|~ \alpha \leq \theta_{v} \leq \beta \} }{\pi (N)} \hspace{0.25cm} = \hspace{0.25cm} \int_{\beta}^{\alpha} \frac{2}{\pi} \sin^{2} \theta d\theta
が成立する。

E が 虚数乗法を持たない とは、 E の \overline{F} 上の自己準同型環が \mathbb{Z} と同型であることをいい、そうでないとき E は 虚数乗法を
持つ といいます。虚数乗法を持つ楕円曲線に対してはHecke 指標の理論によって \{ \theta_{v} \} の分布を用意に決定することができます (佐藤-Tate予想のような分布にはなりません。たとえば y^{2} = x^{3} + 1 や y^{2} = x^{3} - x の場合にはすべての有限素点のおよそ
半分の v について、ぴったり \theta_{v} = \frac{\pi}{2} となってしまいます) 。従って、佐藤-Tate予想において E が虚数乗法を持たない という仮定は本質的であるといえます。

Taylor 達が証明した定理は次の定理です:

Theorem.          (L. Clozel, M. Harris, N. Shepherd-Barron, R. Taylor)
 E を代数体 F 上の虚数乗法を持たない楕円曲線とする。このとき、 j^{~\mathrm{inv}} (E) が代数的整数でないならば、 E に対する佐藤-Tate予想は正しい。

代数体 F が総実であるとは、任意の体の埋め込み F \hookrightarrow \mathbb{C} に対し、その像が \mathbb{R} に含まれることをいいます (e.g., \mathbb{Q}, ~ \mathbb{Q} (\sqrt{2}), \mathbb{Q} (\zeta_{n} + \zeta_{n}^{-1}) は総実代数体) 。 j^{~\mathbb{inv}} の仮定については少し技術的で、 F を有限次拡大体に取り換えると、ある有限素点に
おいて楕円曲線 E が乗法的還元を持つことと同値です。これらの仮定は、志村多様体を用いて GL_{n} の保型表現に伴う 
Galois 表現を構成するために必要なものです*3。

 

証明の方針.

Taylor 達による佐藤-Tate予想の証明は、素数定理 / Dirichlet 算術級数定理の証明と同じアイディアに基づくものです。
代数体 F 上の楕円曲線 E から、 n 次の Euler 積を持つ 対称積 L 関数 を

\displaystyle L (s, E, \mathrm{Sym}^{n - 1}) \hspace{0.25cm} \overset{\mathrm{def}}{=} \hspace{0.25cm} \prod_{v \in \mathbb{V}^{~\mathrm{good}} } L_{v} (s, E, \mathrm{Sym}^{n - 1})

によって --- ただし n \geq 1 --- 定義します。ここで E が良い還元を持つ有限素点 v \in \mathbb{V}^{\mathrm{~good}} に対しては L 関数の局所因子 L_{v} (s, E, \mathrm{Sym}^{n - 1}) は \theta_{v} を用いて 

\displaystyle L_{v} (s, E, \mathrm{Sym}^{n - 1}) \hspace{0.25cm} \overset{\mathrm{def}}{=} \hspace{0.25cm} \prod_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{1 - \alpha_{v}^{k} \cdot \overline{\alpha}_{v}^{n - 1 - k} \cdot q_{v}^{-s}}

--- ただし a_{v} \overset{\mathrm{def}}{=} \sqrt{q_{v}} (\cos \theta_{v} + i \sin \theta_{v}) --- で表されます。この L 関数は \mathrm{Re} (s) \gt (n + 1) / 2 で絶対収束します。 n = 1 の
場合、i.e., L (s, E, \mathrm{Sym}^{0}) は F の Dedekind ゼータ関数であり、 \mathrm{Re} (s) \geq 1 における解析的性質はよく分かっています。 n \geq 2 の場合には次の予想があります:

Conjecture ^{\diamondsuit}.
 E を代数体 F 上の虚数乗法を持たない楕円曲線とする。 n \geq 2 に対して、対称積 L 関数 L (s, E, \mathrm{Sym}^{n - 1}) は \mathrm{Re} (s) \geq (n + 1) / 2 に正則関数として解析接続され、 \mathrm{Re} (s) \geq (n + 1) / 2 では零点を持たない。

実はこの予想に対しては次の定理が証明されていました:

Theorem.          (J. Tate, J. - P. Serre)
楕円曲線 E に対する予想 Conjecture ^{\diamondsuit} が n \geq 2 で正しければ、 E に対する佐藤-Tate予想も正しい。

つまり、素数定理/Dirichlet 算術級数定理と同様に、ゼータ関数やその親戚の L 関数について、

絶対収束域ギリギリの線上での非零性から、数論的な帰結を得る

という手法によって佐藤-Tate予想は導かれるわけです。

Conjecture ^{\diamondsuit} の証明の方針としては、 \mathrm{Re} (s) = (n + 1) / 2 が L (s, E, \mathrm{Sym}^{n - 1}) の Euler 積の収束領域外であったり、各項を
定める \alpha_{v} が v ごとに定まっていたりと、その解析的性質を直接調べることが難しいため、 L (s, E, \mathrm{Sym}^{n - 1}) をもともと
解析的性質がよく分かっている L 関数と結びつけて調べる というものがあります*4。その鍵となるのは、非可換類体論による枠組みです*5。


このように佐藤-Tate予想の大部分は、現代の解析/代数的整数論、数論幾何学の技術が駆使されて解決されました。
2日目では、主に非可換類体論の発展についてお話しようと思っています。現代数学におけるゼータ関数論/保型形式論に
興味ある方、是非聴いていただけると嬉しいです。

 

3日目: (多重三角関数) (講演者: たけのこ赤軍)

\displaystyle \hspace{-1.617cm} \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}
\displaystyle \hspace{0.27cm} \zeta (2k) = \frac{(-1)^{k+1} (2\pi)^{2k} B_{2k}}{2(2k)!}
\displaystyle \hspace{0cm} \zeta_4^M (s) := \sum_{m=1, n=0}^{\infty} (m+ni)^{-s}
\displaystyle \zeta_4^M (4k) = \frac{(-1)^{k+1} (2\pi_{4})^{4k} f_{4k}}{4(4k)!}

Riemannゼータ関数 \begin{eqnarray} \displaystyle \zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} \end{eqnarray} は和の範囲が自然数, ではこれをGauss整数 m+ni にしてみると?

その答えを与えるのが上の式です. これをよくみると, 左には 2 が, 右には 4 が多く現れているのがわかります. 私の言葉だと
これらをそれぞれ 2 次元, 4 次元にいる関数であると表現します.

これは \mathbb{Z} が \mathbb{Q} (\zeta_2) の整数環であるのに対して \mathbb{Z}[i] は \mathbb{Q}(\zeta_4) の整数環であることに対応しています ( \zeta_n は 1 の n 乗根).

さらに,

\begin{eqnarray} \displaystyle \pi = 2 \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \\ \pi_4 = 2\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} \end{eqnarray}

であることも 2 と 4 の対応になっていて, B_{2k} と f_{4k} の定義もみごとに 2 と 4 が対比させられる形になっています (定義は
ここでは省略, 両方とも有理数列). もっというと

\begin{eqnarray} \displaystyle \frac{d}{dx} \log \sin (x) = 1 - \sum_{k=1}^{\infty} 2 \zeta (2k) x^{2k} \end{eqnarray}

から, これを 4 次元で作り直した式

\begin{eqnarray} \displaystyle \frac{d}{dx} \log S_{4} (x) = 1 - \sum_{k=1}^{\infty} 4 \zeta_{4}^{M} (2k) x^{2k} \end{eqnarray}

を作ることができ, ここにでてくる S_4(x) という関数はどうやら \sin (x) の 4 次元での姿なのではないかと推測できます.

さらにさらに,

\begin{eqnarray} \displaystyle \frac{\pi}{-s \Gamma(s) \Gamma(-s)} = \sin{\pi s} \end{eqnarray}

からも

\begin{eqnarray} \displaystyle \frac{\pi_4}{-s^3G_4 (s) G_4 (-s) G_4 (is) G_4 (-is)} = S_4 (\pi_{4} s) \end{eqnarray}

というふうな 4 次元版を考えることができ, もちろん G_4 (s) はガンマ関数 \Gamma (s) の 4 次元版であると考えられます.

こういう感じで,  2 次元での関数や公式をすべて 4 次元で作り直してみよう, というのが私の理論のもっとも具体的な部分です. しかし, こういった " 4 次元での再構成" を試していくうちに, "分裂"といえるような減少が起こっていることに気が付きます.

たとえば 2 次元での関数 f(x) があったとして, これが性質Aと性質Bを共に満たしているとしましょう. しかしこれを 4 次元に持ち上げてできた g_1(x) は性質Aを問題なく満たしてくれるのですが, 性質Bは満たしてくれないのです.

そこで, 別の持ち上げ方を使ってできた g_2 (x) を考え (持ち上げ方が違うだけで, これももちろん f (x) の 4 次元版です) て
みると, こいつは逆に性質Aを満たさないのに性質Bを満たしている, というようなことが起きるわけです.

つまり, f(x) という対象を持ち上げたときに性質A,Bがそれぞれ g_{1}, {g_2} の方へと"分裂"してしまっているわけですね. 遺伝の逆をイメージしていただくとわかりやすいです (1人の子供が持つ形質が2人の親に引き継がれている, ということ).

このような現象はしばしば発生するのですが, 2 次元から 4 次元へ持ち上げる際の分裂は本質的に一つしかないことが推測
できるのです. これはゼータ関数や三角関数、ガンマ関数、モジュラー形式などがそれぞれの次元で密接に複雑に絡み合って
いるからで, どれか一つの分裂の様子がわかると他の関数たちも同じように分裂していく, ということです.

具体例を挙げてみると(といっても本質的に一つなので全部挙げていることになるんですが), \sin は S_4 と \mathrm{sn} の二つに分裂
します, 分裂しているということはさっき言った通り性質を分け合っているということですから, S_{4} と \mathrm{sn} は \sin の性質を
分け合っていることになります.

具体的に言ってみると, S_{4} に継承されるのは無限積展開, reflection formula, 正則性で, \mathrm{sn} ヘ継承されるのはEulerの公式, 逆関数の積分表示, Taylor展開です. この分裂現象は必ずしも完全に二つに別れるわけではなく, 同じ性質を 4 次元で共有していることもあります. このケースだと, 円周率は S_{4} と \mathrm{sn} とで共通です.


このような関数の分裂や, 分裂先での性質の変化などを調べるのが私の理論です. しかも, ゼータ関数においては通常の分裂だけでなく"同速度で"分裂するような現象が確認されていて, これを詳しく見ていくとなんと数の集合の代数的構造を複素関数の
視点から眺めることが可能になります. 自分で作っておいてなんですが非常に美しい理論なので, ぜひお聴きいただけると
幸いです.

*1:実際は実数の範囲でのみ考察していたようです。

*2:これは Modular 形式 と呼ばれる特別な場合の保型形式です。

*3: \mathrm{Gal} (\overline{F} / F) の n 次元既約 \ell 進 Galois 表現 R と GL_{n} (\mathbb{A}_{F}) の代数的な尖点的保型表現 \Pi の間には \Pi \rightarrow R の構成に難しさがあって、
この部分の技術的な障害が取り除かれていません。その詳細を書くにはこの余白は狭すぎる気がしますので、この記事では一旦置いておく
ことにします。

*4:ここで候補となるのが 保型表現の L 関数 ですが、表現論の話を詳しく書こうとするとどうしても長くなってしまうので、ここでは
割愛します。

*5:他にも 谷山志村予想 や Langlands 予想 などが、非可換類体論を通して考えると見通しがとてもよくなります。