Introduction:
しかし、ここ数週間は 3B1B (Grant Sanderson) の映像作品 に浸かりまくる一方:
そういうことで、今回は intuition (直観) と symbolism (記号) の話でもすこし -- 題して:
Signifiant the Visible -- 見える記号
彼の映像作品の一連を '一気見' しててつくづく思うのは、概して、記号体系 (signifiant) は優れていればいるほど、数学の直感的で本質的な理解につながりやすい ということです。
... But the point is that, when the notation actually reflects the math, the questions that students are most naturally asking tend to be the ones that cut right into the essence of what's going on.
3Blue1Brown, Triangle of Power, 6:19.
-- しかし、ソシュール派の言語学によるところでは 記号の恣意性 (arbitraire du signe) を避けては通れません。そこで、"How arbitrary do you think our mathematical perspective is, as humans on earth?" という質問に対し、彼は言います:
One thing you can be pretty sure of -- and this might seem superficial -- is that the notation would be entirely different. There's a lot of arbitrary choices and how we write things down.
[...] I think it's really interesting to contemplate other ways where the notation shapes the way we think about it and shapes the axioms and theorems we even choose -- more so than we give it credit for.
Q&A with Grant Sanderson (3blue1brown), available at https://youtu.be/Qe6o9j4IjTo?t=99
そういうわけで、数学の記号体系は十分 arbitrary だといえそうです。*1 -- もちろん、これはそのことが良くないとかそういう話ではなくて、恣意的な記号と、そうでない意味みたいなものにはきちんと区別をつけよう、ということです。
について記録しているエッセイがあります:
「見える観念 (イデア*2 ) などと謳うものは、いわゆる '常識' のように穴だらけ」・・現代物理学の革命家でさえ signifiant にはとても批判的です。
Signifié the Invisible -- 見えない意味
ここまでは、いわば 「見えるもの」ばかり なわけですが、さて「見えないもの」についてはどうでしょう?
Alfred North Whitehead (あの Bertrand Russell と Principia Mathematica を共著した英国の数学-哲学者) は次のように述べています:
[...] [Symbols] have invariably been introduced to make things easy. So in mathematics, granted that we are giving any serious attention to mathematical ideas, the symbolism is invariably an immense simplification. ...
This example shows that, by the aid of symbolism, we can make transitions in reasoning almost mechanically by the eye, which otherwise would call into play the higher faculties of the brain.
It is a profoundly erroneous truism, repeated by all copy-books and by eminent people when they are making speeches, that we should cultivate the habit of thinking of what we are doing. The precise opposite is the case. Civilization advances by extending the number of important operations which we can perform without thinking about them.
Alfred N. Whitehead, Introduction to Mathematics, 1911
「頭を使わずに操作できる記号こそが文明を進歩させる」・・これは Whitehead の筆から書かれていることを思うと、かなり深い主張であるように思えます。
-- しかし、我々は緊張した対立を前にしてこそ解決策を見出さなければならない（矛盾への偏愛）!*3
数学の signifié ?
もちろん、これはあの偉大な Whitehead が言うからこそ たいへん微妙なニュアンス がある主張なのであって、これの深い理解にはもっと読書がいりそうです。
それでも、ソシュールの提示した 記号の恣意性 という考え方に従えば、数学の本質の理解につながるのはまさに signifié だと思えるわけです。*4
そういうわけで、記号学から投げかける究極の問題はこれです:
補題: human language における signifiant の恣意性
いろいろな科学の分野では、それぞれが研究する題材について
というのをよく考えます。たとえば*5:
- 数学では「数とは何か?」
- 生物学では「生命とは何か?」
- 神経科学では「意識とは何か?」
等々。(もちろん、これらは各分野におけるテーマのほんに一例にしかすぎません (!)。)
ここでは、「数学とは何か」という問いかけを探るため、補題として「言語とは何か」という問題を考えてみます。-- まあ、言語学で考えたからといって、この種の問題が簡単になるわけではありませんが、ここで見つかる補助線には価値があると思います。
さて、まず '言語' と聞いて思い浮かべるのは 発話による意思疎通 でしょうか。私たちが日々の生活で言葉の便利さを一番よく実感するのは周りの人たちとの会話であって、したがって 声を使ったやりとり というのは人間のコミュニケーションの基本を成すといえるでしょう。
しかし、世界には声を使わないやりとりというのも存在するわけです: 手や顔の部位を用いた、手話 とよばれるものです。これは 聴覚 (耳で聞くもの) ではなく 視覚 (目で見るもの) を用いたもので、これを言語の一種と認めるのは当然でしょう。
さて -- ここで考えるべき質問は、「言語の形態はいかに本質的か?」ということです。ここまでの議論では、聴覚を用いたものでも、視覚を用いたものでも言語の一種として認められているわけです: この境界線というのは、いったいどこまで押し広げることができるのでしょうか?*6
この問いに対してはたくさんの考え方がありますが、僕がいまのところ納得いきそうなのが、主に Noam Chomsky によって提案された、言語の本質とは「フォルム」なのではなく、なにか内在的な computation のことである、という考え です。*7
一般に言語学では、このある種の 普遍性 のことを
とよびます*8。
さて問題なのは数学の modality-independence -- または、記号学の術語でいうところの、数学における signifié について でした。(個人的な結論にはまだまだ至りそうにはありません!)
先行研究についてですが、たとえば Plato がこの分野では多くの業績を残しており (Cratylus))、この領域の彼の思想には Platonism という名前がつけられています。*9 -- が、しょうじき自分には西洋の classics をもうすこしちゃんと読むという準備が必要そうです。
A quick word about constructionism:
Almost all parents think that it is a good thing for their kids to do something called "learning math" and are therefore in the market for software that will "teach kids math." So far, so good. But what is not so good is that their ideas about what math is, and why the kids should learn it, are so flimsy that they are in a similar position to people who want to buy food for their kids but do not know the difference between nutritious food and junk food.
In my view 99% of what is sold is junk math.
"junk math"! -- これこそ Pascal が言った esprit de finesse の現代版でしょう、というのに指摘されるまでほぼ自分で気が付かなくて、やはり instructionism (習うこと) ではなく constructionism (自分でみつけること) こそ目指すべき学び方だと思った --
ところで Whitehead って教育にもかなり熱心で、たとえばこんなこと言ってたりするらしい:
Whitehead's philosophy of education might adequately be summarized in his statement that "knowledge does not keep any better than fish."[74] In other words, bits of disconnected knowledge are meaningless; all knowledge must find some imaginative application to the students' own lives, or else it becomes so much useless trivia, and the students themselves become good at parroting facts but not thinking for themselves.
https://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_North_Whitehead#Views_on_education
これは Papert's principle とよばれるものを強く思い出させます:
Some of the most crucial steps in mental growth are based not simply on acquiring new skills, but on acquiring new administrative ways to use what one already knows.
さらに Whitehead は続けます:
"[T]heoretical ideas should always find important applications within the pupil’s curriculum. This is not an easy doctrine to apply, but a very hard one. It contains within itself the problem of keeping knowledge alive, of preventing it from becoming inert, which is the central problem of all education."
あと Science and the Modern World の第2章:
こうなるともう 「数学のご縁」 というのもそう遠くはない -- たとえば G. H. Hardy:
-- さて、'junk math' を消費するタイプの esprit de géométrie の人たちはどのような感性 [sensibilité] を持つのかといえば:
Cola has no “taste memory.” For an addict, it can replace water entirely.
— Naval (@naval) May 31, 2020
Social media has infinite variation. For an addict, it can replace learning entirely.
Porn can replace sex. Games can replace careers. Sugar can replace nutrition. Drugs can replace motivation.
Entirely.
別の比喩:
一方で、Weierstraß もかなりおもしろいこと言ってる:
そして Sonja Kowalevsky:
あと Einstein:
たとえば Chomsky の discourse ってたいてい感性を必要とするタイプの observation から始まることが圧倒的に多いので、界隈の一部に理解されないのも無理ないはず !
-- でも Whitehead はたしかに言いました:
さらに、数学の discourse について:
偶然でしょうか、Chomsky も まったく (!) 似たことを話しています:
For millenia, scientists had been satisfied with simple explanations for familiar phenomenon. [...] As soon as Galileo and others allowed themselves to be puzzled about these facts, modern science began -- and it was quickly discovered that our beliefs are all senseless and our intuitions are mostly wrong. The willingness to be puzzled is a very valuable trait to cultivate. It's from early education to advanced enquiry.
しかし、それを成し遂げるのは真に 'radical' であるといえるわけです (1:01:27~ だけじゃなくて全部聞いて):
Appendum:
日本のコミュニティでフランス語を訳すのが流行ってるらしい? ということで、僕が4月ごろ訳してた The Architecture of Mathematics (Bourbaki の一次文献でいちばん構造主義っぽいこと書いてあるエッセイ) とかしっかりまとめて公開するとか、これをきっかけに「数学徒のための semiotics 入門」やるとか、いろいろ構想を練ってみたり --
Good-bye.
*1:まあ、ここまでは 'それはそう' -- see: https://youtu.be/s6Bzah9lCTo?t=2365
*2:ところでいま Wiktionary 眺めてましたが、もともとの語源って古典ギリシャ語の 'I see' から来てるんですね -- これはやばい: https://en.wiktionary.org/wiki/idea#English
*3:ここまで来ると、やっぱり Ricœur 読まなきゃとか焦りはじめる次第
*4:もっとちゃんとした理由付けを考えてくるのが宿題.
*5:もちろん、このテーマで「芸術」という言葉が思い浮かぶ人は多いと思いますが、ここではなるべく「科学」の領域 [whatever that means] にとどまることにします。-- なお、僕が科学と芸術の折衷云々いいたがるのはこういう背景があるというのはさておきまして --
*6:cf. Incrementalism - Wikipedia
*7:human language の定義 chez Chomsky についてはまたいつか -- たとえば僕が Jacques Hadamard とか Henri Poincaré の creativity についての書き物を読んだころに.
*8:この対談の特に 14:05 以降 -- https://youtu.be/2NsuB9qZvVU?t=699
*9:しかし、実際に当時の文献を読み漁っているとつくづく思うことですが、数学の議論に宗教を持ち込むのはあまり日本人に納得はされなさそうです。
